Hoje começamos a estudar o momento angular em MQ.

• A primeira coisa a fazer é deduzir as relações de comutação dos componentes do momento angular. Começamos lembrando a descrição de rotações com matrizes ortogonais, e lembramos que rotações em torno de eixos diferentes em geral não comutam.
• Depois descrevemos o operador de rotações infinitesimais na MQ. Para isso, lembramos que o momento angular é o gerador de rotações em mecânica clássica; apareceu um operador fazendo esse papel no operador de rotação infinitesimal em MQ, então identificamos esse operador como o componente do momento angular na direção do eixo da rotação infinitesimal.
• Em seguida mostramos que a não-comutatividade das rotações em mecânica clássica se traduz na relação de comutação fundamental do momento angular. Notem que os comutadores foram obtidos sem usar a definição de momento angular orbital ; o que fizemos é geral, e inclui o momento angular de spin, por exemplo, que não é definido assim mas que, como todo momento angular, satisfaz as mesmas relações de comutação.
• Demos uma pausa do desenvolvimento da teoria para descrever rotações de um spin 1/2; acabamos vendo que os valores esperados do momento angular rodam (como esperado) com as rotações. A derivação usando a fórmula de Baker-Hausdorff-Campbell garante que isso vale para qualquer momento angular, e não só para o caso de spin 1/2.
• Revisitamos o problema da precessão de um spin 1/2 e vimos que por causa da forma do operador Hamiltoniano, o operador de evolução temporal é, ao mesmo tempo, um operador de rotação, justificando os valores esperador rodarem da forma como fazem com a precessão.
• Um fato curioso, consequência disso que estudamos: o vetor de estado de um spin 1/2 só volta ao que era depois de uma rotação de radianos, e não como poderíamos esperar! Depois de uma volta completa o vetor de estado ganha uma fase de , que é uma fase global caso o spin seja tudo que temos, mas que será uma fase detetável experimentalmente caso o spin seja parte de um sistema, como foi feito na experiência de Rauch e outros, e Werner e outros, em 1975.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 4, páginas 1 a 7.

• Relembramos como derivar a equação de continuidade, e depois fizemos o mesmo incluindo agora o termo de potencial vetor na Hamiltoniana de uma partícula carregada. Vimos que isso altera o fluxo de probabilidade J.
• Transformações de calibre na MQ: vimos que os potenciais mudam de forma a não mudar E, B, mas temos necessariamente que introduzir um fator de fase na função de onda. Isso leva a mudanças no valor esperado do momento (que não é invariante de calibre, logo não é algo que tenha significado físico direto). Mostramos que a equação de Schrodinger é invariante por transformações de calibre, e vimos que o momento mecânico Pi é invariante, e que pode ser observado fisicamente (por exemplo, observando como o valor esperado da posição muda no tempo).
• Vimos explicitamente como o momento canônico p se transforma sob transformações de calibre.
• Por último descrevemos brevemente o efeito Aharonov-Bohm, em que feixes de partículas quânticas têm seu comportamento mudado pela existência de um fluxo magnético numa região por onde as partículas nunca passam.

O que vimos corresponde às páginas 34 a 41 do cap. 3 das notas de aula.

Potenciais e transformações de calibre.

• Se adicionamos uma constante V_0 ao potencial, o estado ganha uma nova fase, mas essa fase é uma fase global que não muda os valores esperados dos observáveis.
• No entanto, se um feixe é dividido e cada sub-feixe passa por uma região com um potencial constante e diferente entre as regiões, cada sub-feixe ganha uma fase diferente, e essa diferença das duas fases é observável no padrão de interferência da sobreposição dos dois subfeixes.
• Esse efeito pode ser usado para observar uma consequência da gravidade na mecânica quântica. Na verdade, quando observamos partículas elementares que caem, estamos observando efeitos da gravidade na MQ. O que temos em mente aqui é um efeito em que a combinação apareça, e isso é justamente o que acontece com a interferência quântica induzida pela gravidade.
• Nesse experimento um feixe de nêutrons é dividido em dois subfeixes, e um deles se propaga durante um intervalo de temo a uma altura maior que o segundo subfeixe. Com isso surge a diferença de fase, que foi observada experimentalmente de forma conclusiva em 1975 por Colella, Overhauser e Werner.
• Transformações de calibre no eletromagnetismo. Escrevemos a Hamiltoniana de carga em campo eletromagnético, e aparece o momento mecânico ou cinemático que, veremos depois, será conservado por transformações de calibre no potencial (transformações que não mudam os campos E, B).
• Obtivemos a equação de movimento de Heisenberg para a segunda derivada de x, que é a versão quântica da força de Lorentz.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 29 a 34.

Estados coerentes do oscilador harmônico.

• São estados cuja evolução temporal para os valores esperados de x, p seguem as trajetórias do oscilador harmônico clássico.
• Descrevemos o oscilador harmônico clássico, fazendo uma mudança de variáveis análoga à mudança de operadores que fizemos no caso quântico, para descrever o problema em termos dos operadores e . No OH clássico, isso consiste em descrever o oscilador usando a amplitude complexa .
• Definimos as duas condições que queremos que nossos estados coerentes satisfaçam: que tenham o mesmo valor de energia e os que o valor esperado do operador a no estado inicial seja o a amplitude clássica inicial . Com isso, teremos que os valores esperados de x e p seguirão as trajetórias clássicas.
• Propriedade 1 de estados coerentes: são auto-estados do operador a, com autovalor correspondente à amplitude clássica . Isso nos permite encontrar os coeficientes da expansão na base de energia.
• Propriedade 2: o valor esperado da energia é o mesmo que o clássico; a distribuição de probabilidade para resultados de medidas de energia segue uma distribuição de Poisson.
• Propriedade 3: definimos um operador de translação no espaço de fase, e estados coerentes são o estado fundamental transladado assim. Por isso, estados coerentes também são estados de incerteza mínima.

O que vimos corresponde às páginas 23 a 28 do cap. 3 das notas de aula.

Oscilador harmônico.

• Aplicando sucessivamente operador a a um auto-estado de energia, encontramos que o número de excitações n deve ser inteiro maior ou igual a zero, o que nos dá o espectro de energia.
• A função de onda do estado fundamental satisfaz uma equação diferencial equivalente à condição . Resolvendo-a, encontramos que o estado fundamental é uma função gaussiana.
• Aplicando o operador ao estado fundamental encontramos as funções de onda dos estado excitados.
• Encontramos elementos de matriz e variâncias de x e p para auto-estados de energia. Vimos que para auto-estados de energia. Para encontrar estados cujos valores esperados de x e p oscilam como a posição e momento de um oscilador clássico vamos ter que encontrar os estados coerentes, que (como qualquer estado quântico) podem ser escritos como superposições de auto-estados do operador número (e da energia).
• Encontramos as equações de Heisenberg para evolução temporal dos estados.

O que vimos nesta aula corresponde às notas de aula do capítulo 3, páginas 17 a 22.

Hoje tivemos vista da 1a prova, e discutimos os problemas da prova. Depois:

• Princípio da incerteza para energia/tempo: vimos que a desigualdade parece ser aquela que sai da consideração das variâncias de dois observáveis que comutam (a relação de incerteza que derivamos), mas deve ser obtida de outra forma pois o tempo não é observável. Definimos como um tempo característico para a variação de um observável Q de um desvio padrão; então vale , onde é a variância da energia (operador Hamiltoniano).
• Começamos a estudar o oscilador harmônico quântico. Fizemos uma “mudança de variáveis” (na verdade, de operadores) para expressar a Hamiltoniana com os operadores e , definidos como certa combinação llinear (não-Hermitiana) dos operadores e . Reescrevemos a Hamiltoniana usando o observável número , e vimos que como [H,N]=0, procurar os auto-estados de H é equivalente a procurar os auto-estados de N. A continuar na próxima aula.

O que vimos corresponde às notas de aula do capítulo 3, páginas 14 a 17.

Veja as notas aqui.

Hoje discutimos os problemas da lista 3 e resolvemos outros problemas de revisão para a 1a prova.

Hoje continuamos discutindo a dinâmica quântica, apresentando duas maneiras diferentes de discuti-la, as descrições (ou representações) de Schrodinger e de Heisenberg.

• Definição das duas descrições, exemplo com operador de translação infinitesimal.
• Equação do movimento para os operadores na descrição de Heisenberg.
• Como provar duas identidades mostrando o cálculo de comutadores de x com funções de p, e vice-versa.
• Usamos as identidades para obter os operadores x(t) e p(t) para o exemplo de partícula livre.
• Ao examinar uma partícula sob ação de potencial V(x) arbitrário, vimos que os valores esperados de x e p seguem trajetórias clássicas, o que é conhecido por teorema de Ehrenfest, um resultado importante para a comparação entre a teoria clássica e a quântica.
• Vimos como os vetores-base (que são autoestados de um observável na descrição de Heisenberg) mudam juntamente com o observável, “rodando” na direção contrária àquela em que “rodam” os vetores-estado na representação de Schrodinger.

O que vimos hoje corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 7 a 13.

Hoje começamos a discutir a dinâmica quântica.

• Encontramos o operador infinitesimal de evolução temporal, nos baseando na discussão que já tínhamos feito sobre transformações contínuas de estados quânticos. Vimos que o gerador da evolução temporal é o operador Hamiltoniano.
• A partir da forma do operador infinitesimal (e da forma como eles se compõem), obtivemos uma equação diferencial que o operador de transformações finitas deve satisfazer. Essa é a equação de Schrodinger para o operador U.
• Vimos que a equação diferencial para as funções de onda segue diretamente da equação para U.
• Discutimos 3 casos diferentes em que temos que encontrar o operador, e a solução formal para cada caso: i) H independente do tempo; ii) H dependente do tempo, mas com H(t) comutando com H(t'); iii) H com dependência arbitrária do tempo. Na maior parte dos casos de interesse neste curso lidaremos com o caso i).
• Vimos como evoluem os autoestados de energia, e como os valores esperados variam com t para um estado geral.
• Discutimos um exemplo simples de dinâmica, um spin precessionando em campo magnético uniforme.
• Por fim, discutimos as dificuldades mais comuns que vocês tiveram na lista 2, que entreguei corrigida.

O que vimos hoje corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 1 a 6.

Hoje terminamos a discussão sobre o formalismo de operadores densidade.

• Vimos como descrever sistemas quânticos compostos de duas partes (ou mais). A construção de observáveis e kets no espaço de Hilbert maior corresponde ao produto tensorial, também conhecido como produto de Kronecker.
• Embora os vetores-base do sistema composto sejam estados produto, nem todo estado do sistema composto é produto. Os que não são produtos são chamados de estados emaranhados, e têm propriedades interessantes: são úteis em diversos protocolos da área de informação quântica (como o teletransporte e a distribuição quântica de chaves criptográficas); e não têm os estados das partes bem-definidos, enquanto o estado total é bem-definido. Se você ficou curioso sobre a área de informação quântica, eu recomendo a leitura do meu livro de divulgação científica (há exemplares na biblioteca).
• Vimos como os subsistemas de um sistema composto em geral são descritos por uma matriz densidade mista, e aprendemos a calcular essa matriz densidade a partir do estado do sistema total, usando a operação chamada de traço parcial.
• Se temos um estado global puro e tiramos o traço parcial, encontrando uma matriz densidade mista, podemos concluir que o estado original era emaranhado.
• Exemplos de matrizes densidade mistas e traço parcial.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 2, páginas 9 a 15.

Continuamos o estudo do formalismo do operador densidade.

• Chamei atenção para a diferença entre superposição de estados e combinação convexa das matrizes-densidade correspondente a esses estados.
• Provamos 3 propriedades dos operadores-densidade: não-negatividade, traço 1, Hermiticidade.
• Provamos também propriedades do espectro de : a soma dos autovalores é 1; não-negatividade é equivalente a termos todos os autovalores não-negativos.
• Como reconhecer se uma matriz densidade representa um estado puro ou misto? 2 condições equivalentes a ser puro: e .
• Vimos outra caracterização de estados puros: não podem ser escritos como combinação convexa de outros estados, enquanto todos os mistos podem.
• Vimos exemplos de decomposições múltiplas do mesmo operador densidade, e vimos exemplos de matrizes-densidade para alguns estados puros e mistos de spin.

O que vimos hoje corresponde às notas do cap. 2, páginas 3 a 8.

• Começamos discutindo como representar estados e operadores usando a base dos auto-estados de momento.
• Obtivemos também o unitário (função de transformação, como às vezes é chamado no caso de variável contínua) que leva a base x na base p e vice-versa. É a nossa conhecida onda plana.
• De maneira natural obtivemos as integrais que levam uma representação na outra, e vimos que essas integrais são simplesmente a transformada de Fourier (e a transformada inversa).
• Exemplo: pacotes Gaussianos. Calculamos valores esperados, variância etc, e vimos que eles são estados de incerteza mínima.
• Vimos rapidamente o que precisamos mudar quando vamos representar estados no espaço tridimensional, ao invés da partícula na reta.
• Introdução ao formalismo do operador densidade. Uma situação para motivar o formalismo: descrevendo uma situação em que a produção de estados puros é feita probabilisticamente, e vimos como calcular o valor esperado de algum observável de interesse para esse ensemble estatístico de estados puros. Essa é a típica situação em que o formalismo do operador densidade é útil; outra situação típica, que veremos mais adiante, é quando queremos descrever um subsistema de um sistema quântico maior, ou como dizemos no jargão, um sistema quântico aberto.

O que vimos corresponde às páginas 54 a 58 das notas do cap. 1, e páginas 1 e 2 das notas do cap. 2. Para quem não reparou, simplifiquei um pouco a lista 2 de exercícios, deem uma olhada lá.

• Vimos o que é um grupo (matemático), e alguns exemplos de grupos discretos e contínuos. Já tínhamos visto que as translações formam um grupo. Para saber mais consulte livros de álgebra ou notas de aula disponíveis na internet, por exemplo este curso.
• Voltando à mecânica quântica, vimos que os componentes do momento comutam e permitem definir uma base de auto-estados comuns.
• Comentei rapidamente que há outras formas de chegarmos às relações de comutação canônicas, por exemplo o caminho que Dirac seguiu, “quantizando” a mecânica clássica dos parênteses de Poisson.
• Discutimos a mecânica quântica de uma partícula em 1D, descrita usando a base de autoestados de posição. Vimos como escrever produtos internos, expansões de funções em termos de uma base de auto-funções, e como escrever os elementos de matriz de um operador. Em seguida vimos como obter valores esperados de funções da posição.
• Obtivemos a forma do operador momento na representação de posições, usando o efeito conhecido do operador de translação, que é função do operador momento. Respondendo a uma pergunta, dá sim para fazer essa dedução usando translações finitas, o que apareceria na eq. 1.7.15 do Sakurai seria uma expansão de Taylor com infinitos termos, a ser comparada com a expansão de Taylor para a exponencial que descreve a translação finita. Comparando termo a termo, vemos que o operador momento é mesmo .

Vimos o equivalente às páginas 49c a 53 das notas de aula.

• Começamos discutindo as principais dificuldades que vocês tiveram com a primeira lista de exercícios.
• Discutimos o significado físico do operador Hermitiano K, vendo que ele deveria se relacionar ao operador momento. Dividimos K pela constante de Planck (que tem a dimensão necessária, de ação), para definir o operador momento, e com isso encontramos a relação de comutação fundamental entre posições e momentos.
• Vimos como transformações mais gerais de estados permitem que descubramos o operador de transformação infinitesimal (que é unitário), e a partir dele encontramos o operador de transformações finitas. Voltando ao operador K, vimos que ele é o gerador das translações, e encontramos o operador de translações finitas. Lembramos como definir funções de operadores, derivá-las etc, o que precisamos para resolver a equação diferencial que nos deu as transformações finitas.
• Usando o fato das translações finitas comutarem, encontramos as relações de comutação dos momentos.
  

Na aula de hoje vimos o correspondente às páginas 47 a 49b das notas de aula, além de termos discutido as soluções da primeira lista de exercícios.

• Como transformamos observáveis para outras bases, obtendo um observável equivalente, que provamos ter o mesmo espectro. Como exemplo, mudando a base podemos transformar o operador de momento angular em , ou componente em qualquer direção.
• Começamos a discutir espaços de Hilbert correspondente a observáveis com espectro contínuo, como posição e momento. A dimensão do espaço nesse caso é infinita. A primeira coisa que fizemos foi fazer uma lista de equivalência entre fórmulas para espaços de Hilbert discretos e contínuos.
• Em seguida, para tratar de um caso concreto, começamos a discutir medidas de posição.
• Discutimos a operação de translação, introduzindo um operador correspondente à translação infinitesimal dos estados quânticos. Listamos quatro propriedades do operador desse operador , e em seguida mostramos que o operador proposto tem essas quatro propriedades.
• Em seguida, calculamos o comutador , e vimos que eles não comutam. Na próxima aula vamos interpretar esse fato.

O que vimos na aula de hoje corresponde às páginas 41 a 47 das notas de aula.

• Provamos alguns lemas. 1o Lema: desigualdade de Schwarz. 2o Lema: valor esperado de operadores Hermitianos é real (já tínhamos provado isso). 3o Lema: valor esperado de operadores anti-Hermitianos é imaginário puro.
• Usando os lemas provamos a relação de incerteza - uma desigualdade para variâncias de observáveis incompatíveis.
• Mudança de base: vimos que sempre é possível definir um operador unitário que leva uma base em outra. Vimos como se transformam os coeficientes da expansão de estados, e os elementos de matriz de operadores, em termos desse operador unitário. Listamos algumas propriedades do traço de uma matriz (algumas das propriedades podem ser provadas usando-se os unitários de troca de base).

O que vimos na aula de hoje corresponde às páginas 34 a 39 das notas de aula.

• Começamos a aula discutindo alguns dos problemas da lista 1, cuja entrega foi adiada para a próxima quarta-feira por causa da greve de ônibus em Niterói.
• Sejam A